Символьная алгебра

Символьная алгебра

Упрощение выражений (Simplify)
Упрощение выражений - наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор MathCAD стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Чтобы упростить выражение с помощью меню
1. Выделите выражение целиком или его часть, которую нужно упростить.
2. Выберите команду Symbolics / Simplify (Символика / Упростить).
Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода используйте ключевое слово simplify. Не забывайте, если некоторым переменным, входящим в выражение, ранее были присвоены некоторые значения, то они будут подставлены в него при выполнении символьного вывода.

Упрощение выражений, содержащих числа, производится по-разному, в зависимости от наличия в числах десятичной точки. Если она есть, то выполняется непосредственное вычисление выражения.

Разложение выражений (Expand)
Операция символьного разложения, или расширения, выражений противоположна по смыслу операции упрощения. В ходе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств. Разложение выражений производится путем выбора команды Symbolics / Expand (Символика / Разложить), либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова expand.

1. Выделите его целиком.
2. Выберите в главном меню пункты Symbolics / Expand (Символика / Разложить).
После этого результат разложения выражения появится чуть ниже в виде еще одной строки.

Второй способ символьных преобразований (с помощью оператора ->).
1. Введите выражение sin (2х).
2. Нажмите кнопку Expand (Разложить) на панели Symbolic (Символика).

Разложение на множители (Factor)
Разложение выражений на простые множители производится при помощи команды Symbolics / Factor (Символика / Разложить на множители), либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова factor. Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа - на простые сомножители. Применяя команду меню, не забывайте перед ее вызовом выделить все выражение или его часть, которую планируете разложить на множители.

Приведение подобных слагаемых (Collect)
Чтобы привести подобные слагаемые полинома с помощью меню:
1. Выделите в выражении имя переменной, относительно которой надо привести подобные слагаемые

2. Выберите команду Symbolics / Collect (Символика / Привести подобные).

В результате появится строка с результатом приведения подобных слагаемых)

Чтобы привести подобные слагаемые с помощью оператора символьного вывода:

1. Нажмите кнопку Collect на панели Symbolic (Символика).
2. Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова collect имя переменной, относительно которой требуется привести подобные слагаемые.
3. Введите оператор символьного вывода ->.
4. Нажмите клавишу <Enter>.

После ключевого слова collect допускается задание нескольких переменных через запятую.
Коэффициенты полинома (Polynomial Coefficients)
Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде a₀+a₁x+a₂x²+..., а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты a₀,a₁,a₂... легко определяются символьным процессором MathCAD. Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас, довольно сложными) других переменных.
Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты в выражении при помощи меню:
1. Выделите в нем имя переменной или выражение, для которого требуется рассчитать полиномиальные коэффициенты.
2. Выполните команду Symbolic / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома).
В результате под выражением появится вектор, состоящий из полиномиальных коэффициентов. Первым элементом вектора является свободный член а₀, вторым – a₁, и т.д..
Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты с помощью оператора символьного вывода:
1. Введите выражение.
2. Нажмите кнопку Coeffs на панели Symbolic (Символика).
3. Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова coeffs аргумент полинома.
4. Введите оператор символьного вывода ->.
5. Нажмите клавишу <Enter>.

Разложение на элементарные дроби (Convert to Partial Fractions)
Чтобы разложить сложную дробь на более простые дроби, следует либо выполнить команду Symbolics / Variable / Convert to Partial Fractions (Сим волика / Переменная / Разложить на элементарные дроби), либо указать ключевое слово parfrac. Применяя первый способ (меню), не забывайте перед выбором его команды выделить переменную, по которой будет производиться разложение, а если используется второй способ (с оператором символьного вывода), то имя переменной следует указать после ключевого слова parfrac.

Подстановка переменной (Substitute)
Очень удобная возможность символьных вычислений - это операция подстановки значения переменной в выражение. При помощи меню подстановка производится следующим образом:
1. Выделите значение переменной, которое необходимо подставить в некоторое выражение. Значение переменной может быть любым выражением относительно любых переменных.
2. Скопируйте значение переменной в буфер обмена, например, нажатием клавиш <Ctrl>+<C> или кнопки Сору (Копировать) на панели инструментов Standard (Стандартная).
3. Выделите в выражении, в которое требуется подставить значение из буфера обмена, переменную, которая будет заменяться.
4. Выполните команду Symbolics / Variable / Substitute (Символика / Переменная / Подставить).
Для осуществления той же операции в совокупности с оператором символьного вывода используйте ключевое слово substitute, которое вставляется в документ одноименной кнопкой на панели Symbolic (Символика). После ключевого слова substitute необходимо ввести в местозаполнители логическое выражение, показывающее, какую именно переменную какой формулой следует заменить.

Разложение в ряд (Expand to Series)
С помощью символьного процессора MathCAD возможно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х=о, т. е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида a₀+aix+a₂x²+a₃x³+... Здесь а - некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение. Если выражение имеет в точке х=о особенность, то соответствующее разложение называют рядом Лорана.
Чтобы разложить выражение в ряд:
1. Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложение в ряд.
2. Выполните команду Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика / Переменная / Разложить в ряд).
3. В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation) и нажмите кнопку ОК.
Результат разложения появится под выражением.
Не забывайте, что разложение строится только в точке х=0. Чтобы получить разложение в другой точке х=а, можно, к примеру, подставить вместо переменной х значение х-а.

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic (Символика). После ключевого слова series, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации. Видно, что разложение в ряд хорошо работает в окрестности точки х=0, а по мере удаления от нее все сильнее и сильнее отличается от функции.

Получение численного значения выражения
С помощью символьного процессора можно рассчитать численное значение выражения (действительное или комплексное). Иногда такой путь представляется более удобным, чем применение численного процессора (т. е. знака обычного равенства). Чтобы рассчитать значение некоторого выражения, выберите команду Symbolics / Evaluate / Symbolically (Символика / Вычислить / Символьно), либо пункт Symbolics / Evaluate / Floating Point (Символика / Вычислить / С плавающей точкой). В последнем случае вам будет предложено с помощью диалога Floating Point Evaluation (Вычисления с плавающей точкой) задать точность вывода. В итоге применения данных команд MathCAD заменяет символьные результаты, где это возможно, значениями в виде чисел с плавающей точкой.

Еще один пункт меню Symbolics / Evaluate / Complex (Символика / Вычислить / Комплексно) позволяет представить выражение в виде а+b*i
Аналогичные по действию ключевые слова float и complex можно использовать в документах, вводя их с панели Symbolic (Символика). Ключевое слово float применяется вместе со значением точности вывода результата с плавающей точкой. С помощью слова complex можно преобразовывать выражения как в символьном виде, так и с учетом численных значений, если они были ранее присвоены переменным (несколько примеров)